Meeting of the project De rerum natura

Dans de nombreuses applications, les termes d'une table viennent avec une structure, par exemple ils sont nuls en-dehors d'un cône ils peuvent être construit à partir d'une base de Gröbner d'un idéal invariant sous l'action d'un groupe fini. Nous montrons alors comment tirer partie de cette structure pour deviner l'idéal des relations de la table tout en diminuant le nombre d'opérations dans le corps des coefficients de la table mais aussi le nombre de requêtes à la table. Dans certaines applications, comme en combinatoire, les nombreux termes nuls de la table peuvent nous faire deviner de fausses relations. Cette approche nous permet ainsi de réduire drastiquement le nombre de fausses relations devinées. Finalement, nous montrons quel genre de structures de cône ou de réseau est préservé par la multiplication de polynômes quasi-commutatifs. Cela nous permet d'accélérer la devinette de relations de récurrence à coefficients polynomiaux en calculant, dans un anneau de polynômes quasi-commutatifs, une base de Gröbner creuse ou une base de Gröbner d'un idéal invariant sous l'action d'un groupe fini.

Un problème qui remonte à Poincaré consiste à classer (localement) les ensembles analytiques réels lisses plongés dans l'espace affine complexe C^n à biholomorphisme près. Beaucoup de choses ont déjà été faites, et des questions restent ouvertes... Dans cet exposé je vais m'intéresser à la question suivante : on considère deux ensembles algébriques réels qui sont localement biholomorphes ; sont-ils biholomorphes via un biholomorphisme algébrique ? Concrètement, je vais d'abord expliquer tous les termes précédents, de la manière la plus élémentaire possible. Je vais ensuite donner un exemple, basé sur l'étude des séries génératrices de marches dans le quart de plan, donnant une réponse (négative) partielle à cette question.

We characterise the generating function counting walks with small steps in the 3/4-plane using an analytic functional equation. This equation is analogous to one used extensively in the quarter plane, essentially showing that from this viewpoint 3/4-plane walks are no more complicated than quarter plane walks. The method involves slicing the 3/4-plane into 3 quarter planes, as done previously by Bousquet-Mélou and Wallner, then reassembling the resulting generating functions in the analytic world. We use this analytic functional equation to prove a conjecture of Dreyfus and Trotignon that the complexity (algebraic, D-finite, D-algebraic, etc.) of the generating function $C(x,y;t)$ counting walks in the 3/4-plane is the same as that of the generating function $Q(x,y;t)$ counting walks in the quarter plane, at least with respect to the variables $x$ and $y$. Moreover, we believe this opens the door to a proof that this complexity matches the complexity of the series as functions of $t$.